Ripasso di matematica: formule e dimostrazione del Teorema di Pitagora

Il Teorema di Pitagora e le sue formule sono tra gli argomenti fondamentali della geometria euclidea e stabiliscono una relazione precisa tra i lati di un triangolo rettangolo.

Questo teorema è fondamentale sia per la comprensione della geometria e della matematica in generale, sia per l’applicazione in vari campi pratici per calcolare distanze e misure che altrimenti sarebbero difficili da determinare.

Nei prossimi scroll vediamo le formule e la dimostrazione del Teorema di Pitagora e capiamo le applicazioni a diverse figure geometriche 📐

Formule e dimostrazione del Teorema di Pitagora

Secondo questo teorema, in ogni triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa (il lato opposto all’angolo retto e il più lungo del triangolo) è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti (i due lati che formano l’angolo retto) 🟦

Inoltre, il teorema ha un “inverso” secondo cui se in un triangolo la somma dei quadrati delle lunghezze di due lati è uguale al quadrato della lunghezza del terzo lato, allora quel triangolo è rettangolo.

Questo aspetto dell’inverso del teorema di Pitagora è particolarmente utile per determinare se un triangolo è rettangolo semplicemente conoscendo le lunghezze dei suoi lati.

Matematicamente, l’enunciato del teorema di Pitagora si esprime con la formula:

a² + b² = c²

Dove:

• c rappresenta la lunghezza dell’ipotenusa 📏
• a e b rappresentano le lunghezze dei cateti 📐

Dalla formula principale del teorema di Pitagora, possiamo derivare altre due formule utili per calcolare la lunghezza di un cateto quando sono note le lunghezze dell’ipotenusa e dell’altro cateto:

a = √c² − b^2​

b = √c² − a^2​

Queste formule permettono di determinare la lunghezza di un lato mancante di un triangolo rettangolo conoscendo le lunghezze degli altri due lati 🧠

Per completezza occorre riportare anche il concetto di terna pitagorica, ovvero l’insieme delle terzine di numeri che soddisfano la formula. Nei tre numeri, che rappresentano dunque le misure dei lati, quello maggiore identifica l’ipotenusa 🔢

Esistono numerose dimostrazioni del Teorema, molte delle quali utilizzano principi e tecniche geometriche 📐
Pur variando per approccio e complessità, confermano tutte la validità del Teorema di Pitagora, affermando la relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo.

Dimostrazione di Euclide

La dimostrazione di Euclide è probabilmente la più famosa e si basa sull’uso di figure geometriche e proporzioni.

Essa implica l’uso di un quadrato diviso in parti che includono il triangolo rettangolo e altri triangoli congruenti a esso, mostrando che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Dimostrazione con il Teorema di Tolomeo

Questa dimostrazione si basa sul Teorema di Tolomeo, che riguarda le proprietà di un quadrilatero ciclico (un quadrilatero i cui vertici giacciono tutti su una stessa circonferenza).

Applicando il Teorema di Tolomeo a un rettangolo con lati di lunghezza a e b, si può dimostrare il Teorema di Pitagora 📐

Dimostrazione Grafica

Una dimostrazione grafica molto intuitiva coinvolge la costruzione di un quadrato di lato a + b e la sua divisione in due modi diversi. Nel primo caso, si prendono quattro triangoli rettangoli congruenti posti con due cateti adiacenti di lunghezza a e b e ipotenusa di lunghezza c.

Questa configurazione forma un quadrato centrale di lato c e dimostra visivamente che l’area del quadrato sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati sui cateti.

Alcune dimostrazioni sono molto efficaci per “vedere” intuitivamente il teorema, per esempio quelle di Bhaskara, Leonardo da Vinci, Airy, Perigal, Dekker, Floor van Lamoen e Luciano Porta 🧠

Dimostrazione con Proporzioni

Utilizzando l’osservazione che in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa divide il triangolo in altri due triangoli rettangoli simili, si possono stabilire proporzioni tra i lati dei triangoli che portano a dimostrare il Teorema di Pitagora.

Questa dimostrazione sfrutta la similitudine tra i triangoli per stabilire una relazione proporzionale tra i lati.

Dimostrazione con le funzioni trigonometriche

Si può dimostrare il Teorema di Pitagora utilizzando le definizioni delle funzioni trigonometriche.
Per esempio, un triangolo rettangolo con angoli noti permette di esprimere i lati in termini di seno, coseno e tangente degli angoli e poi utilizzare le identità trigonometriche per dimostrare il teorema ✍️

Infatti, considerando che in un triangolo rettangolo il seno di un angolo è uguale al rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa, si possono stabilire relazioni che portano al Teorema di Pitagora.

Applicazione del teorema a diverse figure geometriche

Adesso è il momento di passare dal teorema di Pitagora enunciato alla spiegazione semplice, con le applicazioni che ne dimostrano la versatilità e la rilevanza pratica.
In matematica è un punto di partenza imprescindibile per tutti gli studenti che si approcciano alle relazioni trigonometriche. Puoi utilizzarlo per:

• Determinare angoli ✏️
• Calcolare lunghezze 📏
• Risolvere equazioni ✍️

In generale, il Teorema di Pitagora trova applicazione in diverse figure geometriche, consentendo di calcolare le lunghezze dei lati e risolvere problemi relativi alle distanze e alle misure.

Ecco come si applica a diverse figure:

Triangolo rettangolo

In un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza a e b e ipotenusa di lunghezza c, il Teorema di Pitagora afferma che a² + b² = c²

Il teorema di Pitagora è fondamentale per calcolare la lunghezza di un lato di un triangolo rettangolo quando si conoscono le lunghezze degli altri due lati.
Per esempio, può essere utilizzato per calcolare distanze su una mappa o per stabilire se un terreno è rettangolare misurandone le diagonali 📐

Trapezio rettangolo

Tracciando l’altezza di un trapezio rettangolo si ottiene un triangolo rettangolo. Applicando il Teorema di Pitagora a questo triangolo, è possibile stabilire relazioni tra le lunghezze dei lati del trapezio 📏

Triangolo isoscele

Tracciando l’altezza di un triangolo isoscele si ottengono due triangoli rettangoli. Applicando il Teorema di Pitagora a uno di questi triangoli, è possibile trovare la lunghezza dei lati mancanti 🧠

Trapezio isoscele

Tracciando l’altezza di un trapezio isoscele si ottiene un triangolo rettangolo. Applicando il Teorema di Pitagora a questo triangolo, è possibile stabilire relazioni tra le lunghezze dei lati del trapezio 🔢

Triangolo equilatero

Tracciando l’altezza di un triangolo equilatero si ottengono due triangoli rettangoli.
Applicando il Teorema di Pitagora a uno di questi, è possibile trovare la lunghezza dei lati mancanti. Tuttavia, poiché i tre lati di un triangolo equilatero sono uguali, il Teorema non è necessario per calcolare le lunghezze dei lati 🤔

Rombo

Nel rombo l’applicazione del teorema di Pitagora ti permette di individuare diagonali, semidiagonali e lati. Se osservi bene la figura, infatti, le diagonali del rombo vanno a dividerlo in quattro triangoli rettangoli, perciò puoi risolvere molti problemi ricorrendo alla formula.

Rettangolo

Se prendi un rettangolo, la diagonale, che puoi identificare con la lettera “d,” va a dividere la figura in due triangoli rettangoli che hanno come ipotenusa proprio la diagonale e come cateti i due lati del triangolo, che puoi identificare con le lettere “b” e “h.” Basta applicare il teorema di Pitagora per relazionare tutte le lunghezze.

Problemi da risolvere con le formule del teorema di Pitagora

Vediamo all’opera il teorema di Pitagora e scopriamo come può risolvere i quiz di matematica, permettendoti di calcolare la lunghezza di un lato e determinare la distanza tra due punti.

Esercizio 1

Quanto misura l’area di un triangolo rettangolo avente ipotenusa di 32 e un cateto di 4?

Calcolando la misura del secondo cateto con il teorema di Pitagora, si ha 👉 √(32² – 4²) = 12 √7
Usando come base e altezza i due cateti otterremo (4 · 12√7) / 2 = 24 √7 ✅

Esercizio 2

Determinare area e perimetro di un triangolo rettangolo avente l’ipotenusa che misura 5 e un angolo di 30°.

Utilizzando la relazione trigonometrica tra l’ipotenusa e i lati del triangolo rettangolo, possiamo calcolare le lunghezze dei lati.
Sfruttiamo il coseno dell’angolo noto per calcolare la lunghezza del cateto adiacente all’angolo di 30° 👉 AB = 5 cos 30° = 5 * √3 / 2 📏

Allo stesso modo, utilizziamo il seno per calcolare la lunghezza del cateto opposto 👉 AC = 5 sin 30° = 5/2 📏

A questo punto calcoliamo l’Area utilizzando la formula A = 1/2 * AB * AC e sostituendo i valori 👉
A = 1/2 * (5 * √3 / 2 ) * (5/2) = 25√3 / 8 ✅

Infine, per ottenere il perimetro ci basta sommare i tre lati 👉 p = AB + AC + BC 👉 p = 5 * √3 / 2 + 5/2 + 5 = 5 * (√3 / 2 + 1/2 + 1) = 5/2 (√3+3) ✅

Esercizio 3

Determinare la misura del lato e l’area di un pentagono inscritto in una circonferenza di raggio 1.

Dividiamo il pentagono in 10 triangoli rettangoli uguali e sfruttiamo:

• il semi-lato del pentagono come base del triangolo
• l’apotema del pentagono come altezza del triangolo

Calcoliamo l’angolo al vertice del triangolo 👉 a = 360° / 10 = 36° 📐
A questo punto possiamo utilizzarlo per calcolare la base del triangolo 👉 lato = 2 sin 36° 📏

Ora possiamo procedere con il calcolo delle aree delle due figure 👉 A_triangolo = 1/2 sin 36° * cos 36° 👉 A_pentagono = 10A_triangolo = 5 sin 36° * cos 36° ✅

Esercizi di matematica e geometria

Nonostante sia stato formulato secoli fa, il teorema di Pitagora rimane una pietra miliare della geometria 📐

Capirlo può davvero fare la differenza nei test a crocette perché ti permette di risolvere problemi complessi con facilità.

Ripassa il Teorema di Pitagora e le sue formule dedicando del tempo agli esercizi con Futura 🚀

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