Comprendere la nozione di condizione necessaria e sufficiente ha una grande utilità quando ti trovi di fronte a dei quiz di logica.
In più, si tratta di una conoscenza che aiuta a imparare un metodo di ragionamento efficace e, dunque, a saper strutturare una strategia di studio valida per ogni tipo di materia.
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Nei prossimi scroll capiamo cos’è la condizione necessaria e sufficiente, come la si applica alle regole di inferenza e esempi pratici.
Il punto di partenza: il condizionale
Per prima cosa, è necessario comprendere il significato di condizionale. Si tratta di un operatore logico che permette di unire due differenti enunciati, creando tra quest’ultimi un rapporto di implicazione.
Il simbolo del condizionale è una freccia che punta verso destra (→) e che permette di identificare un enunciato condizionale come A → B. In questo caso:
- A è l’antecedente
- B è il conseguente
Per comprendere con maggiore chiarezza questo concetto, proviamo a fare due esempi molto semplici di enunciati condizionali:
- se Margherita è felice, allora esce insieme alle amiche 👯
- Margherita è felice soltanto se esce con le amiche 😄
Rileggendo tali enunciati, cosa pensi abbiano in comune? Ti rispondiamo subito, dicendoti che entrambi sono formati, a loro volta, da altri due enunciati.
Margherita è felice possiamo identificarlo con la lettera A, mentre Margherita esce con le amiche con B. Vengono uniti tra di loro utilizzando il “se…allora” e da “soltanto se” ✍️
Tali espressioni non sono altro che la “controparte del linguaggio ordinario del condizionale come operatore logico”. Quest’ultimo serve a legare due enunciati, ovvero A e B, in uno soltanto che chiameremo A→B 🧠
Adesso possiamo cercare di comprendere qual è il legame di implicazione che si stabilisce grazie al condizionale. Prima, però, dobbiamo approfondire due concetti fondamentali, cioè quelli che riguardano la condizione sufficiente e quella necessaria.
Cosa si intende per condizione sufficiente
Un enunciato fornisce una condizione sufficiente per un altro quando la verità del primo assicura con estrema sicurezza la realtà del secondo.
Nel caso di un enunciato A→B, la A rappresenta una condizione sufficiente per B. Nel caso in cui, quindi, A rappresenta la realtà (Margherita è felice), questo è già abbastanza per poter dare per certo B (ovvero che uscirà con le amiche).
Devi, però, fare molta attenzione. La veridicità di A, ovvero della condizione sufficiente, assicura la verità di B, che ti ricordiamo è l’enunciato implicato 🧠
Questo non significa che la falsità di A implichi quella di B. Per renderti ancora più chiaro questo concetto, è importante che tu sappia che A può essere non vero, mentre B invece sì (Margherita potrebbe non essere felice ma uscire ugualmente insieme alle amiche).
Cosa vuol dire condizione necessaria
Un enunciato esprime tale condizione per un altro enunciato nel momento in cui soddisfare il primo per soddisfare anche il secondo.
In parole povere, se non è presente una condizione necessaria per poter stabilire la verità di un determinato enunciato, quest’ultimo è sicuramente falso.
Se prendiamo come esempio un enunciato della tipologia A→B, B rappresenta una condizione indispensabile per A ✍️
Nel caso in cui B fosse non vero (Margherita non esce con le amiche), significa che anche A è falso (Margherita non è felice). Anche in questo caso, però, devi prestare massima attenzione perché la falsità di B stabilisce con certezza quella di A (da cui è implicato), ma non significa che la verità di B assicuri quella di A (Margherita esce lo stesso con le amiche, anche se non è felice).
La differenza tra condizione sufficiente e condizione necessaria
Arrivati a questo punto, è indispensabile comprendere con chiarezza cosa differenzia la condizione sufficiente e la condizione necessaria.
Per prima cosa, bisogna sottolineare come un enunciato A rappresenta una condizione sufficiente (ma non necessaria) per un enunciato B quando la condizione che viene espressa da A ci assicura che è ugualmente vero anche B.
Invece, nel caso in cui A sia falso, deve necessariamente esserlo anche B.
Facciamo un ulteriore esempio: un PC funzionante assicura che il suo alimentatore funzioni nel modo corretto, ma un PC che non funziona non dà la certezza che anche l’alimentatore non funzioni 💻
Un enunciato B rappresenta una condizione necessaria (ma non sufficiente) per un enunciato A nel caso in cui la falsità di B assicura quella di A.
Al contrario, quando B è vero non per forza lo sarà pure A. Riproponendo l’esempio precedente del PC, un alimentatore funzionante è indispensabile perché anche il PC possa funzionare, ma non assicura che il PC funzioni realmente.
Analizziamo nel dettaglio la condizione necessaria e sufficiente
Chiariamo subito che ci troviamo di fronte a due enunciati che esprimono una condizione necessaria e sufficiente se:
- Un enunciato è vero, anche l’altro lo è e viceversa ✅
- Un enunciato è falso l’altro è falso e viceversa ❌
Per spiegarlo in termini più semplici, gli enunciati sono tutti e due veri o falsi. Non possiamo avere, in questo caso, dei differenti valori di verità.
Questo significa che un enunciato fornisce una condizione necessaria e sufficiente nel caso in cui i due enunciati connessi tra loro si implicano l’un l’altro e vengono collegati dall’espressione “se e soltanto se“.
Proviamo a fare un esempio: un triangolo può essere definito isoscele soltanto se possiede due lati congruenti 📐
Esprimendo tale condizione necessaria e sufficiente tramite gli operatori logici, avremo che A e B rappresentano una condizione necessaria e sufficiente per entrambi se A ↔ B.
Cosa rappresentano le regole di inferenza?
Quando si parla di enunciati condizionali, è importante conoscere due importanti regole di inferenza:
- Modus Ponens – consente di comprendere da un enunciato condizionale e dall’antecedente qual è il conseguente.
Per esempio, se consideri vero il legame di implicazione tra l’enunciato A (Margherita è felice) e quello B (Margherita esce con le amiche), se c’è la certezza che A è vero, possiamo comprendere con assoluta sicurezza che anche B lo è, dato che A è la condizione sufficicente di B. - Modus Tollens – consente di capire che dalla negazione del conseguente di un preciso enunciato ne deriva la negazione dell’antecedente.
Per esempio, se diamo per certa la verità del rapporto di implicazione tra A (Margherita è felice) e B (Margherita esce con le amiche), sapendo che B è falsa, possiamo avere la sicurezza che anche A lo sarà, dato che B rappresenta la condizione necessaria di A.
⚠️ Non confondere il Modus Ponens con l’affermazione del conseguente, quindi se sai solamente che Margherita esce con le amiche ciò non è sufficiente per capire con sicurezza che è anche felice.
Inoltre, non confondere il Modus Tollens con la negazione dell’antecedente. Quindi se sai soltanto che Margherita non è felice, ciò non è abbastanza per capire con sicurezza che Margherita non è uscita con le amiche.
Esempi pratici
Vediamo un esempio di condizioni necessaria e sufficiente in ambito matematico:
La continuità di un punto rappresenta una condizione necessaria per la derivabilità.
Questo significa che una funzione continua in un punto, può essere derivabile. Nel caso contrario, ovvero che non sia continua nel punto, non è possibile calcolare la derivata ❌
Per quanto riguarda la condizione sufficiente, ecco un esempio:
La condizione sufficiente per fare in modo che un luogo di punti formi un triangolo è che quest’ultimo sia equilatero.
Qui il commento è abbastanza semplice, ovvero considerare un triangolo equilatero è sufficiente, ma non indispensabile per avere a che fare con un triangolo.
Gli errori più comuni da evitare nei quiz
Tra gli errori che vengono fatti con più frequenza, nell’ambito della condizione necessaria e sufficiente, c’è quello di confondere la necessità con la sufficienza 📚
Devi ricordare, infatti, che se una proposizione è necessaria per l’altra, non è allo stesso tempo per forza sufficiente. Per farti un esempio, per poter avere la combustione deve necessariamente esserci ossigeno 🔥
Tuttavia, questa condizione da sola non basta dato che abbiamo bisogno anche di una fonte di calore.
Altro errore in cui cadono in molti è quello di confondere l’implicazione con la condizione necessaria e sufficiente.
Ricordiamo che la prima ci dice che se una proposizione è vera, pure l’altra lo è.
La condizione necessaria e sufficiente, invece, determina che due enunciati siano interdipendenti, ovvero l’uno è necessario e sufficiente per l’altro.
Condizione necessaria e sufficiente e argomenti di logica
Come puoi vedere, capire cosa vuol dire condizione necessaria e sufficiente ti aiuta a capire meglio la logica e a risolvere gli esercizi senza difficoltà 🧠
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