I logaritmi servono davvero? E a cosa? Ecco ciò che c’è da sapere

Certamente i logaritmi sono tra gli argomenti più ostici per gli studenti. Se è da quando li hai incontrati a scuola che ti chiedi “ma a cosa servono i logaritmi?”, allora devi sapere che vengono utilizzati in tantissimi campi: dal mondo dell’economia fino alla progettazione delle componenti di smartphone e tablet 📱

Prima dell’avvento delle calcolatrici, i logaritmi erano usati per semplificare i calcoli complessi e trasformarli in somme, sottrazioni e altre operazioni più semplici. Inoltre, possono essere usati per descrivere fenomeni che variano su scale enormi, come l’intensità dei terremoti (scala Richter), l’intensità sonora (decibel), e la scala del pH in chimica 📊

I test di ammissione universitari sono standardizzati e includono spesso domande su logaritmi per valutare le competenze matematiche degli studenti in modo uniforme.

Comprendere i logaritmi ti permette di dimostrare di avere una solida base in matematica, che è importante per qualsiasi campo di studio STEM (Scienza, Tecnologia, Ingegneria e Matematica).
In più, i logaritmi servono a farti comprendere come passare da una forma esponenziale a una logaritmica e viceversa. Questo tipo di flessibilità nel pensiero è utile in molti contesti accademici e professionali 🧠

Nei prossimi scroll facciamo pace con la matematica e i logaritmi ripassando la teoria e vedendo qualche esempio pratico sull’utilizzo di queste funzioni 🔢

Che cosa sono i logaritmi

Prima di dare la definizione classica di logaritmo è necessario capirne la struttura e il simbolo che viene utilizzato.

La matematica è una materia che vuole stimolare la capacità di ragionare e, soprattutto, ha la prerogativa di sintetizzare i concetti con dei simboli. Tra le cose più difficili di un qualsiasi problema di geometria e di matematica, per l’appunto, c’è proprio la capacità di passare dalla traccia scritta in italiano ai simboli e ai dati 📈
Dunque è giusto prestare attenzione a questo aspetto e perderci un po’ di tempo per assimilarlo al meglio.

Nel caso dei logaritmi, scrivendo, ad esempio, Log₅ 25, si sta indicando il logaritmo in base 5 con argomento 25.

Il calcolo è molto semplice perché occorre trovare quel numero da utilizzare come esponente della base (5) per pareggiare l’argomento (25).
In questo caso il risultato è 2, perché 5 alla seconda fa 25.

Difficile? Non sembra dai ✍️

Volendo essere più precisi, diciamo che il logaritmo di un numero reale è l’esponente che devo dare alla base per ottenere l’argomento 📚

Le caratteristiche matematiche che servono ai logaritmi

Dopo aver dato la definizione di logaritmo possiamo eseguire i calcoli in maniera semplice e immediata. Tuttavia, il logaritmo è una funzione e ciò significa che per ogni valore di X restituisce un determinato valore di Y 📐

Come tutte le funzioni, ha un proprio campo di definizione ossia un dominio.
Parlandoci ancora più chiaramente, stiamo facendo riferimento al cosiddetto campo di esistenza, ossia tutti quei valori della X per cui la funzione logaritmica risulta reale. Le condizioni da rispettare, affinché il logaritmo sia reale, sono piuttosto semplici.

Innanzitutto, la base del logaritmo deve essere necessariamente un numero positivo (>0) e diverso da 1. Dunque se in un compito in classe, o durante un test, ci dovesse essere la richiesta di calcolare il dominio di una funzione logaritmica, la prima cosa da andare a controllare è la base 👀⚠️

Se una base è numerica non ci sono problemi. Per esempio, se questa dovesse essere 5, si tratta già di un valore diverso da 1 e maggiore di 0.
Invece, se la base è numerica ma negativa, allora dovremmo sottolineare che siamo in presenza di una funzione non reale.

Quando la base di un logaritmo è espressa come una variabile X, è essenziale che questa soddisfi due condizioni:

• Maggiore di 0
• Diverso da 1

La base deve essere maggiore di zero perché la funzione logaritmica non è definita per valori negativi di X. Allo stesso modo, l’argomento del logaritmo deve essere anch’esso maggiore di zero.

Se la base fosse 1, allora qualunque potenza a cui eleviamo 1 ci darà sempre 1 come risultato (perché 1 elevato a qualsiasi numero è sempre 1).
Ciò crea un problema quando calcoliamo il logaritmo perché non c’è un esponente unico che, applicato a 1, possa dare un risultato diverso da 1.
Quindi, non avrebbe senso parlare di logaritmo in base 1 ed è per questo che tale valore viene escluso come base possibile nei logaritmi.

Ulteriori caratteristiche della funzione logaritmica

Per comprendere ancora meglio i logaritmi, occorre fare ulteriori valutazioni sul grafico della funzione logaritmica. Sotto questo punto di vista è indispensabile fare una differenziazione.
In particolare, possiamo parlare di due tipologie di funzioni logaritmiche:

• quelle con base compresa tra 0 e 1 📉
• quelle con la base maggiore di 1 📈

La prima tipologia è una funzione decrescente e questo significa che al crescere della X diminuisce la Y e quindi il valore del logaritmo.

Viceversa, con un logaritmo con base maggiore di 1, come i due più famosi esempi ossia il logaritmo in base 10 e il logaritmo naturale (in base e=2,718281..), la funzione è crescente per cui al crescere della X aumenta anche il valore della funzione (Y).

Nello studio dei logaritmi, si osserva che la base influenza fortemente il comportamento della funzione agli estremi del dominio. Quando la base è superiore a 1, la funzione logaritmica aumenta senza limite man mano che x cresce, tendendo all’infinito. Al contrario, se la base è un numero tra 0 e 1 (senza includere 0 e 1), il logaritmo decresce, avvicinandosi all’infinito negativo con l’aumentare di x 🧠

Queste tendenze asintotiche sono fondamentali per risolvere problemi di limiti e per analizzare il comportamento delle funzioni logaritmiche.

Le proprietà dei logaritmi

Lo so che stai incominciando ad amare questa materia che si sta rilevando molto più semplice di quello che pensavi…

Vedrai, riuscirai a superare il test agevolmente e prendere il massimo punteggio in tutti gli esercizi che fanno riferimento ai logaritmi. A proposito ti voglio dare alcuni utili approfondimenti sul tema:

• Il logaritmo è uguale a 1 soltanto se argomento e base sono gli stessi 1️⃣
• Il logaritmo di 1 è sempre uguale a 0 📚

Inoltre, ci sono delle proprietà molto utili che permettono di semplificare un’equazione logaritmica oppure qualsiasi altro genere di calcolo.

La prima proprietà riguarda il logaritmo di un argomento composto da un prodotto tra fattori.
In questo caso, possiamo semplificare evidenziando come il logaritmo del prodotto sia uguale alla somma dei logaritmi.

In pratica se stiamo calcolando il Log5 (5X * Y) allora possiamo scrivere:

Log5 5X + Log5 Y

La stessa proprietà vale ovviamente anche per il rapporto per cui se abbiamo: Log₅ [2X/(3X+5)], allora possiamo scrivere Log₅ 2X – Log₅ (3X+5) 📐

Altrettanto importante è la proprietà relativa al logaritmo di una potenza con la possibilità di portare l’esponente davanti al logaritmo per cui se abbiamo: Log₅ (25x), possiamo scrivere X Log₅ (25) 🔢

C’è poi la proprietà relativa al logaritmo di un radicale che di fatto viene sviluppata sfruttando la precedente proprietà sui logaritmi di potenza. Nello specifico, il Log₅ √5 diventa 1/2 Log₅ 5.

È 1/2 perché si tratta di radice quadrata, fosse stata radice quinta allora avremmo scritto 1/5 ✍️

Capire a cosa servono i logaritmi: campi di applicazioni

Conoscere bene i logaritmi è fondamentale per poter risolvere tantissimi quesiti. Chiaramente il calcolo, e quindi la risoluzione, di equazioni e disequazioni logaritmiche richiede una certa praticità per cui è consigliato imparare il metodo e poi fare tanti esercizi 🤔

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Per risolvere le equazioni, abbiamo sostanzialmente due metodi a disposizione.

Innanzitutto, c’è da sottolineare che bisogna porre le condizioni di esistenza di tutti i logaritmi presenti nell’equazione. In pratica, dobbiamo assicurarci che tutte le basi siano maggiori di 0 e diverse da 1 e gli argomenti siano maggiori di 0.
Facendo il campo di esistenza dell’equazione si potrà ottenere un intervallo che ci permetterà di stabilire se accettare o meno le soluzioni calcolate 📚

I metodi per risolvere le equazioni e disequazioni logaritmiche

Procediamo con il primo metodo.

Se ci dovessimo trovare davanti a un’equazione del tipo Log₅(2X) = 4, non dobbiamo fare altro che calcolare l’esponenziale a primo e secondo membro. La base dell’esponenziale deve essere per forza di cose uguale alla base del logaritmo in maniera tale da poter eliminare quest’ultimo.

Infatti, otteniamo 5^(Log₅ 2X) = 5^4 .
Al primo membro l’esponenziale e il logaritmo si semplificano perché sono funzioni inverse (un po’ come accade tra potenze e radicali), per cui avremo 2X = 20 e la soluzione sarà X=10.

In questo caso il campo di esistenza di questa equazione era semplicemente 2X>0 per cui X>0. Siccome 10 è un numero maggiore di 0 ,allora questa soluzione è accettabile ✅
Se per assurdo, la soluzione fosse stata -10, allora l’avremmo dovuta scartare.

La seconda tipologia di equazioni logaritmiche sono del tipo Log₅ 2X + Log_5² (2X) + 3 = 0.

In questo caso ci accorgiamo che possiamo porre Log₅ 2X = Y (una variabile qualsiasi). Dunque, l’equazione si trasforma (la ordiniamo anche) in Y² + Y + 3 = 0, ossia una semplice equazione di secondo grado in Y.
Una volta trovati i valori di Y, si ritorna indietro sostituendoli in Log₅ 2X = Y per poi risolvere con il precedente metodo.
Anche con questo tipo di equazioni bisogna fare attenzione al campo di esistenza che va sempre impostato.

Lo stesso discorso e gli stessi metodi possono essere applicati anche con le disequazioni logaritmiche. Tuttavia, occorre ricordarsi che per queste operazioni la risoluzione deve essere affrontata con la valutazione del delta b²+4ac.

Studiare a cosa servono i logaritmi e le funzioni matematiche

In sintesi, i logaritmi sono uno strumento matematico che ci permette di gestire e manipolare numeri molto grandi o molto piccoli in modo più gestibile.

Questi rappresentano solo una piccola parte delle funzioni matematiche che si possono studiare e che possono essere richieste in un test di ammissione.
Per avere un’idea degli argomenti su cui prepararti al meglio, dai un’occhiata al video qui sotto 🧠

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