Definire il seno, il coseno, la tangente e tutte le funzioni possibili non è così difficile come puoi immaginare se conosci bene gli angoli sulla circonferenza goniometrica 🧠
Imparare le funzioni goniometriche consente di risolvere velocemente le espressioni in diversi ambiti scientifici oltre che universitari. Nella matematica e nello specifico in trigonometria, uno dei concetti più importanti per gli studenti è la circonferenza goniometrica 📐
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Nei prossimi scroll ripassiamo gli angoli sulla circonferenza goniometrica, soffermandoci su come vengono misurati e utilizzati.
Angoli sulla circonferenza goniometrica: una definizione
Prima di tutto è opportuno capire cosa siano gli angoli sulla circonferenza goniometrica, concetto alla base della trigonometria. Con tale espressione si identifica la relazione tra angoli, coordinate e funzioni trigonometriche 🤔
Gli angoli vengono misurati in radianti, l’unità di misura angolare alla base della trigonometria.
Affinché si possa comprendere questa misura è necessario considerare una circonferenza unitaria con centro nell’origine e raggio di lunghezza 1 📏
Un radiante è precisamente l’angolo sotteso da un arco di circonferenza lungo quanto il raggio della circonferenza presa in considerazione.
Per semplificare: un radiante è l’angolo che viene a formarsi quando misuri un arco di circonferenza che ha una lunghezza identica a quella del raggio ✅
Grazie alla misurazione in radianti puoi ottenere diversi benefici, poiché elimina di fatto l’ambiguità nella rappresentazione degli angoli. Evitando di utilizzare i gradi, che variano da 0 a 360, puoi sfruttare una misura continua degli angoli.
Per esempio, se consideri un angolo di 90 gradi dovrai associarlo a un valore di π/2 radianti, mentre 180 gradi corrispondono a π radianti. Utilizzando tale metro di misurazione puoi eseguire i calcoli trigonometrici con molta più semplicità 🚀
Conversione tra gradi e radianti
La conversione tra gradi e radianti è una nozione molto utile per imparare gli angoli sulla circonferenza goniometrica.
Infatti, per applicare le funzioni trigonometriche nel migliore dei modi hai la necessità di capire come convertire le unità di misura 🧠
La formula per convertire i gradi in radianti è:
1° × π/180
Come puoi dedurre trasformare i gradi in radianti è veramente molto semplice e intuitivo, infatti, devi utilizzare delle relazioni dirette.
Per esempio, 180 gradi equivalgono a π radianti, 360 gradi a 2π radianti e così via per tutte le altre misure.
Sebbene possa sembrarti una banalità, in realtà è un concetto indispensabile nella trigonometria quando lavori con diverse unità di misura angolare. Applicando una misurazione in radianti avrai un esercizio molto più facile da risolvere e sicuramente meno confusionario 🚀
Invece per convertire i radianti in gradi bisogna utilizzare la formula inversa 1 rad × 180/π 🤔
Punti sulla circonferenza unitaria
Per introdurre il concetto di radianti abbiamo visto quanto sia importante la circonferenza unitaria, ma cosa significa e perché è così rilevante nella trigonometria?
La circonferenza unitaria non è altro che una circonferenza il cui centro è nell’origine del sistema di riferimento, usualmente il sistema di coordinate cartesiano (0,0) e un raggio di 1 unità 📐
Ogni punto sulla circonferenza può essere rappresentato da una coppia di coordinate (x, y), dove x è l’ascissa e y l’ordinata. Questo collegamento tra geometria e trigonometria permette di determinare informazioni sugli angoli formati dai punti con l’asse delle x.
Per esempio, consideriamo il punto A (√3/2, 1/2) sulla circonferenza unitaria. L’ascissa √3/2 (valore x) e l’ordinata 1/2 (valore y) del punto A rappresentano le proiezioni del punto sugli assi x e y.
Queste coordinate forniscono dettagli sull’angolo, che ha un’ampiezza di 30° (o π/6 radianti) rispetto all’asse delle ascisse (asse x).
La comprensione della rappresentazione degli angoli sulla circonferenza goniometrica è fondamentale per svolgere esercizi di trigonometria più rapidamente e con meno errori.
Angoli sulla circonferenza e funzioni trigonometriche
Seno, coseno e tangente sono funzioni essenziali per capire gli angoli sulla circonferenza. Esse si legano ai punti in modo diretto e ti garantiscono la risoluzione di gran parte degli esercizi trigonometrici.
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Il seno di un angolo corrisponde all’ordinata y del punto sulla circonferenza unitaria.
Per esempio, consideriamo un angolo di 0 gradi sulla circonferenza con raggio 1.
In questo caso, il seno di 0 gradi è uguale alla coordinata y del punto corrispondente sulla circonferenza 📏
Il coseno di un angolo si identifica con l’ascissa x del punto sulla circonferenza unitaria.
Prendendo lo stesso angolo di 0 gradi, il coseno è pari alla coordinata x del punto sulla circonferenza di raggio 1 📐
La funzione tangente rappresenta il rapporto tra seno e coseno dell’angolo ed è data dall’ordinata del punto situato sulla “semiretta libera” e avente ascissa 1.
La formula della tangente è:
tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
Per calcolare la tangente bisogna conoscere i valori di seno e coseno per poi applicare un rapporto. Infatti, essa non è definita per gli angoli il cui coseno è nullo, come 90° e 270° 🧠
Come puoi dedurre dagli esempi, è chiaro che le funzioni trigonometriche siano strettamente correlate ai punti sulla circonferenza unitaria.
Quest’ultima funge da guida per capire come le funzioni trigonometriche descrivono gli angoli, condizione indispensabile per risolvere i problemi di trigonometria 🎯
Angoli sulla circonferenza goniometrica: la periodicità
Le funzioni trigonometriche sono periodiche perché i loro valori si ripetono a intervalli regolari lungo la circonferenza unitaria. Essi sono dati dalla lunghezza dell’arco di circonferenza che corrisponde a un giro completo, ovvero 360° in gradi o 2π in radianti 📐
La periodicità delle funzioni trigonometriche è una caratteristica fondamentale per le funzioni seno e coseno. Questa caratteristica implica che i valori di seno e coseno si ripetono ogni 360° e quindi saranno gli stessi di quelli dell’angolo θ + 360°, θ + 720°, e così via.
Infatti, essendo funzioni periodiche con un periodo di 2π radianti, significa che il seno (o il coseno) di un angolo è uguale al seno (o al coseno) dell’angolo più 2π radianti 👉 sin(θ) = sin (θ+2π) ✅
Ciò rende possibile definire angoli maggiori di 360° (o 2𝝅 radianti) in trigonometria. Questi angoli sono noti come angoli “giri multipli” poiché rappresentano più di un completo giro attorno alla circonferenza unitaria 🔢
Tuttavia, a causa della periodicità delle funzioni trigonometriche, questi angoli “estesi” avranno valori di seno, coseno e tangente che coincidono con quelli degli angoli compresi tra 0° e 360° (o 0 e 2𝝅 radianti).
Per esempio, un angolo 390° equivale a un giro completo (360°) più un ulteriore 30°. Quindi, le funzioni trigonometriche di 390° corrisponderanno a quelle di 30° 👉 sin( 390° ) = sin (30°) ✅
La funzione tangente, invece, ha un periodo di π radianti (o 180 gradi). Quindi è possibile scrivere il valore dell’angolo anche come tan(θ) = tan(θ+π) ✍️
Ciò significa che la tangente di θ è uguale alla tangente di θ più π radianti, più 2π radianti, e così via.
Angoli e trigonometria
Conoscere il calcolo degli angoli sulla circonferenza goniometrica per rapportarli alle funzioni degli esercizi è imprescindibile per non riscontrare errori e ottenere il risultato corretto 📚
L’uso della calcolatrice scientifica può sicuramente aiutare a velocizzare le operazioni di calcolo, ma è altrettanto importante comprendere cosa rappresentino gli angoli e come poterli misurare in modo veloce e pratico (anche perché nei test di ammissione non si può utilizzare la calcolatrice 🥶).
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