Sapresti dire come i pianeti trovino la loro strada nell’universo o come funzionino i telescopi? L’ellisse e l’iperbole sono le funzioni matematiche che si nascondono dietro questi fenomeni naturali e tecnologici, ma non solo.
Quando si studia la matematica, la trigonometria oppure la geometria, inevitabilmente si ricade nell’approfondimento delle curve coniche 📐
Esse ricoprono un ruolo molto importante nello studio dei grafici matematici e della trigonometria.
Quindi comprenderne l’andamento ti permette di risolvere tantissimi esercizi 💯
I test a risposta multipla, come quelli per l’ammissione all’università, spesso includono domande che richiedono l’uso di formule o la comprensione di concetti legati a ellisse e iperbole.
Essere a proprio agio con questi argomenti significa poter rispondere in modo rapido e corretto ✅
Nei quiz il tempo è un fattore critico e avere una buona conoscenza di ellisse e iperbole e delle loro formule ti permette di riconoscere rapidamente le risposte giuste e migliorare il tuo punteggio.
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Nei prossimi scroll approfondiremo più nel dettaglio ellisse e iperbole, identificandone le caratteristiche da studiare per padroneggiarne la comprensione e risolvere quiz ed esercizi.
Curve coniche
Sia l’iperbole, sia l’ellisse, rappresentano delle curve coniche, ciò significa che presentano una forma paragonabile a quella di una conchiglia. Sono figure piane che rappresentano il luogo geometrico dei punti ottenibili dall’intersezione tra un piano e la superficie di un cono a base circolare 🍦
Sebbene possano sembrare molto simili tra loro presentano alcune differenze sostanziali.
Quando si utilizza l’espressione “curva conica” si definisce il risultato dell’intersezione di un piano con un cono a doppia falda.
In base all’angolo con cui il piano taglia il cono e alla posizione dello stesso si ottengono quattro differenti curve coniche: circonferenza, parabola, ellissi e iperbole.
Ellisse e iperbole a confronto
Il taglio del cono sul piano può creare una curva conica come l’ellisse, denominata anche curva dell’armonia.
La nomenclatura dà sin da subito l’idea delle caratteristiche grafiche di tale curva, infatti, la sua forma è particolarmente armoniosa.
Tale aggettivo è dato dal fatto che la forma è simmetrica rispetto all’asse minore e maggiore.
Questi assi dividono l’ellisse in quattro quadranti identici.
Le applicazioni delle ellissi ricoprono una vastissima gamma di campi, per esempio, l’orbita dei pianeti che ruotano intorno il sole è descritta da un’ellisse, tenendo conto del sole come uno dei due fuochi ☀️
Infatti, quando si studia la legge delle orbite ellittiche di Keplero, ci si imbatte proprio in questo argomento.
Se l’ellisse rappresenta la curva dell’armonia per la sua forma, l’iperbole viene denominata la curva dell’espansione.
Geometricamente l’iperbole ha due rami simmetrici, ciascuno che si estende all’infinito.
Le iperboli vengono utilizzate in tantissimi contesti diversi, ma gli ambiti più interessanti sono sicuramente: ottica, navigazione ed elettronica.
Per esempio, i microscopi e telescopi sono realizzati con una lente a doppia iperbole per la messa a fuoco 🔭
Tantissimi studenti confondono spesso l’iperbole con l’ellisse anche se graficamente presentano una forma diversa.
Tale difficoltà è data dal fatto che queste due curve coniche condividono alcune proprietà fondamentali della matematica.
Formula dell’ellisse e dell’iperbole: differenze ed esempi pratici
Affinché tu possa distingue facilmente un’iperbole da un’ellisse potrebbe aiutarti visualizzare degli esempi pratici.
Per distinguere efficacemente un’ellisse da un’iperbole, è fondamentale comprendere le loro formule 🧠 Queste non sono solo equazioni su un foglio di carta, ma rappresentano il cuore matematico di queste figure geometriche e la chiave per sbloccare la loro comprensione profonda.
Cominciamo con l’ellisse. La formula generale dell’ellisse è
x²/a² + y²/b² = 1
dove a e b sono le lunghezze dei semiassi dell’ellisse.
La somma delle frazioni in questa equazione è sempre uguale a 1, il che significa che l’ellisse è una curva chiusa e limitata. I valori di x e y sono vincolati dalla formula, quindi l’ellisse non si estende all’infinito.
Questa equazione descrive una forma ovale, perfetta per rappresentare le orbite dei pianeti intorno al sole, come descritto dalla legge di Keplero 🌎
In questo caso, la forma ellittica riflette il delicato equilibrio tra la forza gravitazionale e la velocità orbitale dei corpi celesti.
D’altra parte, l’iperbole è descritta dalla formula:
x²/a² – y²/b² = 1
A differenza dell’ellisse, l’iperbole si compone di due rami distinti che si estendono all’infinito.
Il segno e le formule
L’uso del segno meno tra le frazioni fa sì che l’iperbole sia una curva aperta. I suoi due rami si estendono all’infinito, divergendo sempre più man mano che si allontanano dal centro.
Inoltre, la formula dell’iperbole implica l’esistenza di asintoti, che sono linee che la curva avvicina all’infinito. Gli asintoti di un’iperbole possono essere calcolati attraverso la formula y = ± ab x 🧠
Infatti, l’iperbole è composta da due rami distinti che non si incontrano mai.
Questo comportamento è dovuto al fatto che l’equazione non può essere soddisfatta per alcuni valori di x e y che cadono tra i rami.
Questa forma è un modello cruciale in molte applicazioni, tra cui la navigazione e le comunicazioni satellitari, dove il percorso dei segnali può essere descritto tramite traiettorie iperboliche 📡
Dunque, mentre la forma base delle formule di ellisse e iperbole è simile, i segni (+ e -) sono un riflesso diretto delle loro diverse proprietà geometriche e fisiche. Questa distinzione non è solo una questione di notazione matematica, ma riflette le proprietà geometriche fondamentali e la natura delle due curve.
Esercizi di matematica e geometria: ellisse e iperbole
Quando si tratta di argomenti complessi come ellisse e iperbole, affrontare domande a risposta multipla può sembrare una sfida perché ogni esercizio richiede sia la conoscenza delle loro formule, sia un’analisi critica del loro comportamento matematico.
Una buona preparazione ti aiuterà a sviluppare un’intuizione più forte, permettendoti di “spaccare” nei test a risposta multipla.
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Di seguito vediamo due esercizi per capire meglio come distinguere le due figure geometriche. Ricorda, comprendere la motivazione dietro ogni risposta è la chiave per superare con successo qualsiasi test. Iniziamo 🧠
Esercizio 1: Analisi della Posizione dei Fuochi
Domanda: Data l’equazione x2/49 + y2/36 = 1, dove sono posizionati i fuochi dell’ellisse?
A) Lungo l’asse y a ±6
B) Lungo l’asse x a ±7
C) Lungo l’asse y a ±7
D) Lungo l’asse x a ±6
Spiegazione: L’equazione rappresenta un’ellisse con il semi-asse maggiore orizzontale a = 7 e il semi-asse minore verticale b = 6.
I fuochi si trovano lungo l’asse maggiore, quindi sull’asse x. La distanza di ogni fuoco dall’origine è
√a2 − b2 👉 √49 − 36 = 13, che è approssimativamente 3.61 🔢
Quindi, la posizione corretta dei fuochi è approssimativamente a ±3.61 lungo l’asse x, ma tra le opzioni fornite, ±6 è la più vicina e corretta.
Soluzione: D) Lungo l’asse x a ±7
Esercizi 2: Analisi di una Iperbole
Domanda: Data l’equazione (x−1)2/9 − (y+2)2 / 4 = 1, quale delle seguenti affermazioni è vera?
Opzioni:
A) Rappresenta un’ellisse con centro in (1, -2).
B) Rappresenta un’iperbole con asintoti paralleli alle bisettrici dei quadranti.
C) Rappresenta un’iperbole con centro in (1, -2).
D) Rappresenta un’ellisse con asintoti paralleli agli assi coordinati.
Spiegazione: La presenza del segno meno tra le frazioni indica che si tratta di un’iperbole. Il centro dell’iperbole si trova spostando la x di +1 e la y di -2, quindi in (1, -2).
Gli asintoti di questa iperbole non sono paralleli alle bisettrici dei quadranti poiché i denominatori sono diversi.
Soluzione: C) Rappresenta un’iperbole con centro in (1, -2).
Ripassa le funzioni matematiche e supera il test di ammissione
Grazie allo studio delle iperboli e delle ellissi puoi comprendere meglio le leggi matematiche che regolano il mondo naturale, fornendo strumenti pratici per i problemi di tutti i giorni.
Queste due tipologie di curve sono rilevanti per il patrimonio matematico e scientifico e studiarle può migliorare la tua comprensione degli esercizi. Con un po’ di pratica e diversi esercizi svolti la risoluzione dei grafici non risulterà così complicata.
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