Nei prossimi scroll vediamo come calcolare l’equazione della retta passante per due punti distinti, introducendo questo argomento fondamentale della geometria e non solo 🧠
Se la matematica non è tra le tue materie preferite e fai fatica a comprenderla… mi dispiace, ti capisco 🥲
Per questo prima di addentrarci nel mondo dei piani cartesiani risponderemo alle seguenti domande:
- Cos’è una retta? 🤔
- Come scriverla in linguaggio matematico? ✍️
- Come si rappresenta una retta nel piano cartesiano? 📈
- Quando si smette di studiare matematica nella vita? 😱
L’unica risposta che posso darti già ora è che dovrai SEMPRE avere a che fare con la matematica nella vita, soprattutto se vuoi intraprendere un percorso universitario nell’ambito scientifico 🔢
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Per riuscire a capire gli argomenti di matematica e geometria il segreto è immaginarli nella realtà: fai quanti più esempi reali possibili e, se proprio non ti riesce, immaginali come se fossero dei videogame con specifiche dinamiche di base e regole da seguire 👾
Applicheremo questo piccolo tip ai temi che vedremo nelle prossime righe. Quindi let’s go, siamo pronti ad affrontare il primo livello di Geometria: l’equazione della retta passante per due punti 📐
Retta passante per due punti: coordinate e piano cartesiano
Prima di parlare di rette, bisogna capire il contesto in cui ci troviamo e come lavorare con esso.
Supponiamo di trovarci in un punto preciso (che chiameremo Punto A) di un infinito e il nostro amico si trova nel Punto B dello stesso campo.
Il campo infinito è il piano cartesiano e i suoi riferimenti sono l’asse delle ascisse e l’asse delle ordinate.
Ogni punto del piano in cui ci troviamo è unico ed è identificabile tramite le proprie coordinate.
Noi ci troviamo quindi nel Punto A di coordinate (x1, y1) e il nostro amico nel Punto B di coordinate (x2, y2); dove x1 e x2 sono le coordinate orizzontali, mentre y1 e y2 quelle verticali.
Retta
Una retta è un insieme infinito di punti allineati, tali da essere disposti lungo una direzione specifica. Essa non presenta né spessore né larghezza.
La retta viene rappresentata su un sistema di riferimento cartesiano tramite le coordinate (x, y).
Possiamo scrivere l’equazione della retta in due modi: implicito o esplicito
- FORMA IMPLICITA
L’equazione deve essere espressa tramite un polinomio di primo grado, a sinistra vanno le incognite x e y, a destra lo zero.
ax + by + c = 0
- FORMA ESPLICITA
L’equazione va espressa in favore della variabile y.
Il parametro m esprime il coefficiente angolare della retta, ovvero la sua pendenza rispetto all’asse x.
Il parametro q, invece, esprime l’ordinata in corrispondenza dell’origine (y=0).
y = mx + q
Relazione tra forma implicita ed esplicita
Prendendo l’equazione della retta implicita, supponendo che b ≠ 0 , la scriviamo nel seguente modo:
(a/b)x + y + (c/b) = 0 👉👉👉 y = – (a/b)x – (c/b)
Questa è già la forma esplicita della retta in quanto:
m = -(a/b)
q = – (c/b)
Di conseguenza, il coefficiente angolare m e l’ordinata all’origine q sono definiti se e soltanto se b ≠ 0.
Retta passante per l’origine
Ma come scrivere una retta passante per l’origine? Beh, molto semplice!
La retta passante per l’origine è una semplice retta con parametro q = 0.
La sua equazione in forma esplicita sarà, quindi:
y = mx
Come disegnare una retta?
Ti sarà capitato di dover rappresentare una retta nel piano cartesiano, ma, se non è accaduto, sicuramente ti capiterà in futuro anche con altri enti geometrici più complicati (parabole, per esempio 🥲).
Ovviamente nel caso di rette orizzontali o verticali, la rappresentazione è immediata.
Come hai potuto vedere, è più facile ed immediato lavorare con la forma esplicita della retta.
Per cui bisogna prendere la forma esplicita della retta da rappresentare:
y = mx + q
e assegnare alla x dei valori arbitrari (devono essere dei valori comodi, per esempio 0 e 1) e calcolare le rispettive ordinate:
y1 = mx1 + q
y2 = mx2 + q
Ora basta prendere il piano cartesiano e sostituire i punti (x1, y1) e (x2, y2) trovati e tracciare la retta che li congiunge prolungandola all’infinito con i trattini (ricorda: è una retta, non un segmento).
Equazione della retta passante per due punti
Per determinare l’equazione della retta che passa per due punti di cui conosciamo le coordinate basta applicare la seguente formula:
(x – x1) / (x2 – x1) = (y – y1) / (y2 – y1)
Essa, però, non si applica quando i punti sono allineati orizzontalmente o verticalmente perché questi sono dei casi speciali.
Punti allineati verticalmente
Se due punti sono allineati verticalmente e dunque x1 = x2, l’equazione della retta che li congiunge sarà
x = x1
Punti allineati orizzontalmente
Se due punti sono allineati orizzontalmente e quindi y1 = y2, l’equazione della retta che li congiunge sarà
y = y1
Retta passante per due punti: ripassiamo il Punto Medio
Potrebbe capitare che in qualche esercizio ti venga richiesto di calcolare il punto medio della retta.
Per ottenere il valore del punto medio della retta passante per due punti date le coordinate, si applica la seguente formula:
x_medio = (x2 – x1) / 2
y_medio = (y2 – y1) / 2
Le coordinate del punto medio saranno: P_medio = (x_medio, y_medio) 🤔
Ora che con la teoria dovremmo aver finito, tutto sarà più semplice e chiaro con degli esempi.
Equazione della retta passante per due punti: alcuni esercizi
1. Scrivi l’equazione della retta passante per la seguente coppia di punti: A(2; 3), B(4; 1).
Svolgimento:
Applichiamo la formula della retta passante per due punti sostituendo i valori dati dalla traccia
(x – 2)/(4 – 2) = (y – 3)/(1 – 3)
e svolgiamo
(x – 2)/2 = (y – 3)/-2 👉👉 x/2 – 1 = -y/2 + 3/2
L’equazione della retta cercata è: y = – x + 5 ✅
2. Scrivi l’equazione della retta passante per la seguente coppia di punti: A(2; 5), B(3; -2).
Svolgimento:
Applichiamo la formula della retta passante per due punti sostituendo i valori dati dalla traccia
(x – 2)/(3 – 2) = (y – 5)/(- 2 – 5)
e svolgiamo
x – 2 = (y – 5) / (-7)
L’equazione della retta cercata è: y = -7x + 19 💯
3. Supponiamo che tu sia un ingegnere civile incaricato della progettazione di una strada che colleghi la Città 1 e la Città 2, le quali hanno le seguenti coordinate:
- Città 1 ( 47.7123° ; 74.0061° ) 📍
- Città 2 ( 34.0056° ; 118.2458° ) 🌎
L’obiettivo è di progettare la strada più breve possibile che conduca dalla Città 1 alla Città 2 e viceversa.
Svolgimento:
Immaginiamo le coordinate come dei punti sul nostro piano cartesiano e calcoliamo l’equazione della retta come dalla formula:
- ( x – 47.7123 ) / ( 34.0056 – 47.7123 ) = ( y – 74.061 ) / ( 118.2458 – 74.0061 )
- ( x – 47.7123 ) / ( -13.7067 ) = ( y – 74.061 ) / ( 44.2397 )
- ( x – 47.7123 ) ( – 3,2276 ) = y – 74.061
- – 3.2276 x + 153.9960 = y – 74.061
L’equazione della strada tra le due città è la seguente: y = -3.2276 x + 228.057 🚌
4. Si deve progettare una funiculare che collega due stazioni sulla montagna.
Il progetto deve essere tale che il collegamento sia il più breve possibile.
Le coordinate delle due stazioni sono:
- A (20; 1000) 🧭
- B (80; 200) 🗺
L’obiettivo è progettare il percorso ottimale per la funiculare tra le stazioni A e B.
Svolgimento:
Applichiamo la formula data
- (x – 20) / (80 – 20) = (y – 1000) / (200 – 1000)
- (x – 20) / 60 = (y – 1000) / (-800)
- (-13,333) (x – 20) = y – 1000
- -13,333x + 266,666 = y – 1000
L’equazione cercata è: y = -13,333x 1266,666 🚡
Ripassa matematica per i test di ammissione
Come abbiamo visto l’equazione della retta passante per due punti mette la base per l’apprendimento di nuove nozioni di geometria. Insomma, è uno di quegli argomenti che non si può non conoscere… soprattutto se devi sostenere un test di ammissione per accedere all’università 🧠
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