Ripasso di geometria solida: definizione, superficie e volume del prisma

Una figura così particolare e seducente che gli stessi Pink Floyd decisero di utilizzarla per realizzare una delle copertine più famose nella storia della musica. Un prisma ha due basi uguali e parallele, con le facce laterali formate da parallelogrammi.
Nei prossimi scroll capiamo meglio il prisma e ripassiamo le formule per il calcolo della superficie e del volume.

La geometria è un argomento che può metterti in difficoltà durante i test di ammissione oppure in un compito in classe.

Per questo, nei prossimi scroll vediamo le informazioni necessarie per comprendere le caratteristiche del prisma e risolvere i quiz sull’argomento.

Scopriremo nel dettaglio quali sono le principali caratteristiche di quello che genericamente viene definito come un poliedro con basi formate da poligoni congruenti.

Inizia a sembrare complicato? Non temere, è molto più semplice di quanto tu possa immaginare.

Che cos’è e a cosa serve un prisma

Scusa il tecnicismo ma l’unico modo per definire il prisma è quello di indicarlo come solido poliedrico.
Infatti si tratta di un oggetto tridimensionale formato da facce poligonali che hanno delle caratteristiche particolari.

Innanzitutto, la base inferiore e superiore è composta da due poligoni congruenti, che sono disposti su piani paralleli (per intenderci, i poligoni sono figure piane che delimitano uno spazio con almeno 3 lati) 📐

Le basi possono avere qualsiasi forma: possono essere triangoli, quadrati, rettangoli, pentagoni, ecc. Esse sono sempre uguali tra di loro e la distanza tra quella superiore e inferiore è detta altezza.
Tuttavia, quest’ultima non sempre coincide con lo spigolo verticale.

Le facce laterali collegano le basi tra loro. Se ti immagini un prisma come una scatola, le basi sarebbero il fondo e il coperchio della scatola, mentre le facce laterali sarebbero i lati che avvolgono la scatola.

Ora, la forma delle facce laterali dipende dalle basi e dalla direzione in cui si estende l’altezza del prisma:

1. Altezza del prisma perpendicolare alle basi – in questo caso le facce laterali saranno rettangoli.
   Il prisma quindi è retto. Per esempio, se le basi sono dei triangoli, avrai un prisma triangolare retto; se le basi sono dei rettangoli, avrai un parallelepipedo rettangolo.
   
2. Altezza del prisma non perpendicolare alle basi – in questo caso le facce laterali saranno parallelogrammi. Il caso prisma è obliquo.

Il concetto chiave da ricordare è che le facce laterali del prisma connettono le basi e sono sempre parallele tra loro.
Inoltre, ogni faccia laterale ha per lati due spigoli laterali (gli spigoli verticali del prisma) e due lati delle basi.

Il volume del prisma

Il volume del prisma può essere calcolato con una sola formula e non è necessario fare delle differenze per tipologia, come vedremo tra poco per quanto riguarda le varie superfici.

Per arrivare al risultato del volume, hai bisogno di due grandezze:

1. La superficie di base, intesa come somma dell’area delle due basi 🔢
2. L’altezza, ossia la distanza tra le basi 📏

Quindi il volume del prisma è dato dalla moltiplicazione tra la superficie di base:

V = A_base ​× h

Chiaramente questa formula ti permette anche di ricavare delle formule inverse per poter calcolare.
Per ottenerle devi solo fare dei semplici passaggi matematici, per cui, la superficie di base è il rapporto tra il volume e l’altezza (A_base = V / h), mentre l’altezza è il rapporto tra volume e superficie di base (h = V / A_base ) 🧠

Oltre il volume: il calcolo delle superfici del prisma

Per rendere più semplice il calcolo del volume del prisma bisogna considerare che questa figura geometrica non ha una sola superficie, ma bisogna differenziare tra superficie di base e superficie laterale.

Il calcolo della superficie di base è molto semplice e dipende dalla tipologia di figura che forma la base. Se il prisma è regolare, le figure geometriche su cui effettuare il calcolo della superficie potrebbero essere triangoli equilateri o quadrati.

Nel caso del quadrato semplicemente basterà moltiplicare per se stesso il lato mentre per il triangolo equilatero la formula è A = (b x h) / 2 📚

In generale, per i poligoni regolari l’area di base può essere calcolata moltiplicando il perimetro per metà apotema. Da ricordare che per apotema si indica il raggio della circonferenza inscritta. In pratica è la distanza tra il centro della circonferenza e il lato.
Corrisponde al raggio perché sappiamo che la distanza di un punto da una retta si calcola attraverso il segmento che congiunge il punto e il lato in questione, assicurandosi che siano perpendicolari tra di loro.

Una volta ottenuta l’area di base per conoscere la superficie di base del prisma sarà sufficiente moltiplicare il risultato per 2 in quanto ci sono due basi.

Anche la superficie laterale è un argomento più semplice a farsi che a dirsi. Occorre, però, fare una differenziazione tra le varie tipologie di prisma.

Nel caso in cui la figura in questione sia un prisma obliquo, occorre ricordare che le facce laterali sono dei parallelogrammi.
Dunque è sufficiente rispolverare la formula che permette di calcolare l’area di un singolo parallelogramma, ossia base per altezza (un classico) 📐

Se invece stiamo parlando di prismi retti, le superfici laterali sono dei rettangoli e quindi è sufficiente moltiplicare tra loro i due lati.

Invece, se le basi sono composte da figure piane regolari (come il quadrato), il prisma è regolare e il calcolo delle superfici e del volume è ancora più immediato.

Per calcolare velocemente l’area laterale di un prisma, moltiplica il perimetro della base per l’altezza. Se il prisma è regolare o retto, puoi calcolare l’area di una faccia e poi moltiplicarla per il numero totale di facce.

Area laterale del prisma: A_laterale​= P_base​ × h

Dove P_base​ è il perimetro della base.

Una volta ottenuto il valore della superficie laterale, possiamo calcolare quella totale utilizzando la seguente formula:

Area totale del prisma: A_totale​ = A_laterale ​+ 2 × A_base

​Tale operazione fornisce la somma delle aree di tutte le superfici esterne del prisma 📐

Le principali tipologie di prisma e il calcolo di superfici e volume

Come abbiamo visto, il prisma può essere definito in vari modi, tenendo conto di alcune sue caratteristiche.

Una prima differenziazione può essere fatta rispetto a due principali categorie, ossia i prismi obliqui e quelli retti. Volendo essere ancora più precisi, possiamo parlare anche di una terza categoria formata dai prismi regolari.

Prismi retti

Facendo riferimento alla geometria piana, quando parliamo di rettangolo e di triangolo retto, la caratteristica che tutti ricordano riguarda la presenza degli angoli retti ossia di angoli di 90 gradi che si formano nei punti di congiungimento dei vari lati.

Lo stesso vale anche per la geometria solida e in particolare per i prismi retti. Si tratta, dunque, di figure tridimensionali con due basi congruenti e tutte le facce laterali rette rispetto alle basi, ossia formano un angolo di 90 gradi.

Molto più semplice di quanto si possa pensare. Tra l’altro, la differenza si nota anche dal punto di vista visivo. Volendo essere più precisi, le facce laterali dei prismi retti sono sempre dei rettangoli.

Prismi regolari

La differenza con il prisma retto riguarda le basi. Dunque, c’è sempre il concetto che le facce laterali sono disposte su piani retti rispetto a quelli delle basi e quindi formano angoli di 90 gradi.

In aggiunta queste basi sono anche dei poligoni regolari come un quadrato, un pentagono regolare oppure un triangolo equilatero. In pratica, è necessario che la base abbia tutti i lati e gli angoli uguali 📏

Prismi obliqui

La differenza riguarda il fatto che le facce laterali sono sostanzialmente dei parallelogrammi e si presentano inclinate rispetto alle due basi.

Tale inclinazione può complicare il calcolo dell’area laterale poiché l’altezza delle facce laterali non corrisponderà all’altezza del prisma. In pratica, tutti gli spigoli non avranno la stessa lunghezza e questo comporta che la figura si presenti obliqua.

Le formule

I calcoli e i procedimenti da seguire per calcolare l’area totale e il volume rimangono gli stessi, indipendentemente dal fatto che il prisma sia retto, regolare o obliquo.

Tuttavia, la modalità con cui calcoli l’area della base o il perimetro può variare in base alla forma specifica del prisma.

Un’altra formula chiave da ricordare è quella della relazione di Eulero: sommando il numero delle facce e dei vertici, otterrai il numero degli spigoli + 2.

La formula è:

F + V = S + 2

Dove F rappresenta il numero delle facce, V il numero dei vertici e S il numero degli spigoli del prisma.

Per fare un esempio, nel caso di un parallelepipedo:

• F = 6 (2 basi e 4 facce laterali)
• V = 8
• S = 12 (4 per ogni base e 4 spigoli laterali).

Sostituendo questi valori nella formula di Eulero: 6 + 8 = 12 + 2 👉👉 14 = 14

Quindi, la somma del numero delle facce e dei vertici è effettivamente uguale al numero degli spigoli più 2 🔢

Ripassa geometria e preparati per i test di ammissione

Quanto visto è super utile per ripassare gli argomenti più importanti di matematica e geometria, ma ricorda che tale argomento richiede di mettere in pratica le tue abilità di ragionamento.

Inoltre, durante i test di ammissione affronterai dei quiz a risposta multipla 😱

E se è vero che la pratica rende perfetti, esercitarti sui problemi di matematica e geometria ti permette di identificare le aree in cui vai forte e quelle in cui devi migliorare. Più problemi affronti e più sarai capace di capire il risultato già solo leggendo le informazioni date dagli esercizi.

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